Πανελλήνιες 2022: Θέματα στα Μαθηματικά (Άλγεβρα) ΕΠΑΛ από τα Φροντιστήρια ΝΕΟ ΜΑΘΗΜΑ: Νεοελληνική Γλώσσα και Λογοτεχνία

ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω η συνάρτηση f(x) = x
2
για κάθε x ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι
f
′
(x) = 2x.
Μονάδες 7
Α2. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν
παρατηρήσεων.
Μονάδες 6
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,
γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α. Ο συντελεστής μεταβολής δεν είναι ανεξάρτητος από τις
μονάδες μέτρησης.
β. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ
και ισχύει f
′
(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε
η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
γ. Ο σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς.
Μονάδες 6
Α4. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ελλιπείς
ισότητες και να τις συμπληρώσετε σωστά:
α. (√x)
′
= ⋯
β. (f(g(x)))
′ = ⋯
Μονάδες 6
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β
Κατά τον μήνα Νοέμβριο οι απουσίες πέντε (5) μαθητών ήταν:
25, 10, 5, 20, 15.
Β1. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x̅ (μον.4) και το εύρος (μον. 3)
του παραπάνω δείγματος των πέντε μαθητών.
Μονάδες 7
Β2. Να υπολογίσετε τη διακύμανση s
2
.
Μονάδες 7
Β3. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV του
δείγματος (μον. 6) και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι
ομοιογενές απαντώντας αιτιολογημένα (μον. 5).
Μονάδες 11
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x
3 − 9x
2 + αx + 1, όπου x, α ∈ ℝ.
Γ1. Αν ο ρυθμός μεταβολής της f για x = 1 είναι ίσος με 0, να
δείξετε ότι α = 15.
Μονάδες 6
Γ2. Για α = 15 να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(2, f(2)).
Μονάδες 6
Γ3. Για α = 15 να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x) ως προς τη
μονοτονία (μον. 6) και τα ακρότατα (μον. 2).
Μονάδες 8
Γ4. Για α = 15 να βρείτε το όριο
lim
x→1
f
′
(x)
x
2 − 1
Μονάδες 5
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
f(x) =
x
x + 1
Δ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (μον. 2) και να
υπολογίσετε την παράγωγο f
′
(x) (μον. 4).
Μονάδες 6
Δ2. Υποθέτουμε ότι ο χρόνος επιστροφής , σε λεπτά, από το
σχολείο στο σπίτι για τους μαθητές μίας περιφέρειας
ακολουθεί την κανονική κατανομή, με μέση τιμή και τυπική
απόκλιση
x̅ =
1
f
′(2)
, s =
1
2f ′(1)
αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι x̅ = 9 και s = 2.
Μονάδες 6
Δ3. Αν το πλήθος των μαθητών της περιφέρειας είναι 2000, πόσοι
από αυτούς έχουν χρόνο επιστροφής από 5 έως 11 λεπτά
(μον. 6) και πόσοι πάνω από 15 λεπτά (μον. 3);
Μονάδες 9
Δ4. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση, στην
περίπτωση που ο χρόνος επιστροφής των μαθητών της
περιφέρειας αυξηθεί κατά 3 λεπτά.
Μονάδες 4

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο
μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων,
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη
σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και
τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ